Integral Tak Tentu: Pengertian, Rumus, Subtitusi, Parsial

Tahukah kamu apa itu integral? Integral merupakan anti turunan. Salah satu aplikasi integral dalam kehidupan sehari-hari, yaitu untuk menentukan luas suatu daerah benda putar, seperti luas berputarnya baling-baling helikopter. Tahukah kamu bagaimana caranya? Untuk bisa menjawabnya, pelajari materi integral yang satu ini, salah satunya yaitu Integral tak tentu.

Pengertian Integral Tak Tentu

Pada integral yang diketahui adalah fungsi turunannya (F'(x)). Sehingga harus menentukan nilai F(x). Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F'(x) = f(x), maka F(x) merupakan anti turunan atau integral dari f(x) dengan rumus:

∫ f(x)dx = F(c) + C

Catatan: dari bentuk umum integral tak tentu diatas

  • ∫ : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan.
  • f(x) : Fungsi integral, yaitu fungsi yang dicari anti turunannya.
  • c : Konstanta.

Menentukan Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Perhatikan deferensial berikut!

Baca juga : Materi Aljabar Beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Jika F(x) = 8x2, maka F'(x) = 16x dan F(x) = 1/3 x9, maka F'(x) = 3x8. Bagaimana jika dicari f(x)? Didapatkan dengan cara mengintegralkan, yaitu sebagai berikut:

∫ f(x) dx = F (x) + C

Contoh soal dan pembahasan integral

∫ f(x) dx = F (x) + C

Contoh soal dan pembahasan integral
Rumus Integral Tak Tentu

Berikut sifat-sifat integral tak tentu

∫ kf (x) dx = k ∫f(x) dx

∫(f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

∫(f(x) – g(x)) dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Contoh soal integral tak tentu dan jawabannya

1. ∫ x11 dx

Pembahasan:
Contoh soal dan jawaban integral tak tentu

2. ∫ 12x-7 dx

Pembahasan:
Contoh soal dan pembahasan integral tak tentu

3. ∫ 1/4 x9 dx

Pembahasan:
Soal dan jawaban integral tak tentu

4. ∫ 4/x9 dx

Pembahasan:
Soal dan pembahasan integral tak tentu

Menentukan Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Sebelum menyelesaikan integral tak tentu fungsi trigonometri, maka perlu diingat rumus-rumus trigonometri berikut!

Baca juga : Trigonometri – Perbandingan, Identitas, Sudut Istimewa, dan Contoh Soal

1. 2 sin x cos y = sin (x + y) + sin (x – y)
2. 2 cos x sin y = sin (x + y) – sin (x – y)
3. 2 cos x cos y = cos (x + y) + cos (x – y)
4. -2 sin x sin y = cos (x + y) – cos (x – y)
5. sin2x + cos2x = 1 dan 1 + tan2x = sec2x
6. 1 + cotan2x = cosec2x

Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

8. sin x cos y = 1/2 {sin(x+y) + sin(x-y)}
9. cos x sin y = 1/2 {sin(x+y) + sin(x-y)}
10. cos x cos y = 1/2 {cos(x+y) + cos(x-y)}
11. -sin x sin y = 1/2{cos(x+y) – cos n(x-y)}

Rumus dalam menentukan integral tak tentu fungsi trigonometri

1. Integral dengan sudut x dan sudut ax

  • ∫ sinx dx = -cosx + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ sin ax dx = – 1/a cos ax + C
  • ∫ cos ax dx = 1/a sin ax + C

2. Integral dengan sudut (ax + b) atau U(x)

  • ∫ sin (ax + b) dx = -cos (ax+b) + C
  • ∫ cos (ax + b) dx = sin (ax+b)+C
  • ∫ sin U dx = – 1/U’ cos U + C
  • ∫ cos U dx = 1/U’ sin U + C

3. Integral dengan bentuk pangkat

Contoh soal dan pembahasan integral tak tentu
Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

∫ sinnx dx = ∫ sinn-1x sin x dx, bila n ganjil

∫ cosnx dx = ∫ cosn-1x cos x dx, bila n ganjil

∫ sinnx dx = ∫(sin2x)n/2 dx, bila n genap

∫ cosnx dx = ∫(cos2x)n/2 dx, bila n genap

Contoh integral tak tentu fungsi trigonometri

1. ∫ 2 cos x dx

Pembahasan:

∫2 cos x dx = 2 sin x + C

2. ∫(1-cos x) dx

Pembahasan:

∫(1-cos x) dx = x – sin x + C

3. ∫(cos x + sin x) dx

Pembahasan:

∫(cos x + sin x) dx = sin x – cos x + C

4. ∫(2cos x – 3sin x) dx

Pembahasan:

∫(2cos x – 3sin x) dx = 2 sin x + 3 cos x + C

Integral Subtitusi

Misalkan u = g(x) dengan g(x) merupakan fungsi yang mempunyai turunan g'(x), maka ∫f(g(x)g'(x)) dx dapat diubah menjadi ∫f(u) du. Jika F(u) adalah anti turunan dari f(u), maka:

∫f(g(x)g'(x)) dx = ∫f(u) du = F(u) + C

Contoh soal dan jawaban integral subtitusi

1. ∫4x (x2 + 8)3 dx

Pembahasan:

Misalkan u = x2 + 8, maka:

Contoh soal integral subtitusi dan penyelesaiannya

Sehingga: ∫4x (x2 + 8)3 dx

= ∫4xu3 du/2x
= ∫2u3 du
= 2/4 U4 + C
= 1/2 ((x2 + 8)4 + C

2. ∫sin7 x cosx dx

Pembahasan:
Contoh soal integral subtitusi dan penyelesaiannya

Sehingga: ∫sin7 x cosx dx

= ∫u7 cos x du/cos x
= ∫u7 du
= 1/8 u8 + C
= 1/8 sin8 x + C

Integral Parsial

∫ u dv = uv – ∫vdu

Catatan:

  • Pemilihan u diambil suatu fungsi yang dapat diturunkan hingga habis.
  • Pemilihan ∫ v dv dipilih yang mudah diintegralkan.

Contoh soal dan jawaban integral parsial

1. ∫x (2x + 3)2 dx

Pembahasan:
Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya

didapat:
du = dx
dv = (2x + 3)2 dx
v = ∫ sin x dx = 1/6 ((2x + 3)3 dx

Maka, ∫ x (2x + 3)2 dx

Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya
Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya
Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya
Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya

2. ∫x sin x dx

Pembahasan:
Contoh soal integral parsial dan penyelesaiannya

didapat:
du = dx
dv = sin x dx
v = ∫ sin x dx = – cos x

Maka,

∫ sin x dx = x(-cos x) – ∫(-cos x) dx

= -x cos x + ∫cos x dx

Aplikasi Integral Tak Tentu

1. Dalam persamaan gerak lurus beraturan, yaitu:

Aplikasi Integral Tak Tentu

Sehingga

s = ∫v dt dan v = ∫a dt

Contoh: Suatu benda yang bergerak pada bidang datar dengan kecepatan v m/s. Pada saat t detik benda tersebut mempunyai kecepatan v = t2 – t + 2, pada saat t = 2 sekon benda tersebut mempunyai jarak 8 m. Tentukan jarak benda setelah benda tersebut bergerak selama 3 sekon!

Pembahasan:

Diket : v = t2 – t + 2
Maka s = ∫v dt
s = ∫v dt
s = ∫(t2 – t + 1)dt

Aplikasi Integral Tak Tentu

t = 2 maka s = 8

Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu

= 14,33 m
Jadi, jarak benda yang ditempuh selama 3 sekon adalah 14,33 m.

2. Menentukan persamaan kurva jika diketahui gradien garis singgungnya dan melalui sebuah titik pada kurva.

Diketahui gradien garis singgung dengan kurva y = f(x) adalah m = dy/dx = f'(x), sehingga persamaan kurvanya dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

Aplikasi Integral Tak Tentu

Contoh: Gradien garis singgung di titik A(x,y) pada kurva adalah dy/dx = 5x + 4. Jika kurva tersebut melalui titik (2,1) tentukan persamaan kurva tersebut!

Pembahasan:

Diketahui: dy/dx = 5x + 4, sehingga

Aplikasi Integral Tak Tentu

Kurva melalui titik (2,1), maka:

Aplikasi Integral Tak Tentu
Aplikasi Integral Tak Tentu

1 = 10 + 8 + C
C = -18 = 13

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y = 5/2 x2 + 4x -18.

10 Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Pembahasannya

1. ∫(3x2 +2x + 4) dx sama dengan…
a. x3 + 2x2 + 4x + C
b. x3 + x2 + 4x + C
c. x3 – 2x2 + 4x + C
d. x3 – x2 + 4x + C
e. x2 + x2 – 4x + C

Pembahasan:

∫(3x2 +2x + 4) dx

10 contoh soal integral tak tentu

= x3 + x2 + 4x + C

Jawabannya: B

2. ∫x√x dx adalah…

Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Pembahasan:

∫x√x dx = ∫x3/2 dx

Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu

Jawabannya: D

3. ∫(1/x3 – 3) dx = …..
a. – 1/2x3 – 3 + C
b. – 1/2x2 – 3x + C
c. – 1/2x2 + 3 + C
d. – 1/2x2 -3x + C

Pembahasan:
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu

= – 1/2x2 – 3x + C

Jawabannya : B

4. Jika f(x) = ∫(1/3 x2 – 2x + 5) dx dan f(0) = 5, maka f(x) = ……
a. 1/9 x3 – x2 + 5x + C
b. 2/3 x3 – x2 + 5x + 9
c. 2/3 x3 – 2x2 + 5x + 5
d. 1/9 x3 – x2 + 5x + 5
e. 1/9 x3 – 2x2 + 5x + 3

Pembahasan:
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu

= 1/9 x3 – x2 + 5x + C

f(0) = 1/9 x3 – x2 + 5x + C

5 = 1/9 x 03 – 02 + 5 x 0 + C
C = 5
Jadi, f(x) = 1/9 x3 – x2 + 5x + 5

Jawabannya : D

5. ∫(2x + 3)2 dx = ……
a. 1/6 (2x + 3)3 + C
b. 4(x2 + 3)3 + C
c. – 1/6(2x + 3)3 + C
d. 4/3 (x2 + 12)3 + C
e. bukan salah satu di atas

Pembahasan:

= ∫(2x + 3)(2x + 3) dx
= ∫ 4x2 + 6x + 6x + 9 + C
= ∫ 4x2 + 12x + 9 + C
= 4/3 x3 + 6x2 +9x + C

Jawabannya : E

6. ∫(x – 2/x2) dx =….
a. 2x2 + 2/x + C
b. 1/2 x – 3x-3 + C
c. 1/2 x – 2x-2 + C
d. 1/2 x2 + 2x-1 + C
e. 1/2 x2 – 2x-1 + C

Pembahasan:
Soal pilihan ganda integral tak tentu
Soal pilihan ganda integral tak tentu

= 1/2 x2 + 2x-1 + C

Jawabannya : D

7. Integral dari fungsi y = – 1/x2 adalah…
a. – 1/2x + C
b. x-2 + C
c. x-1 + C
d. 1/2x + C
e. 1/3 x + C

Pembahasan:

∫ – 1/x2
= ∫ – 1x-2

Soal pilihan ganda integral tak tentu

= x-1 + C

Jawabannya : C

8. ∫ x cos x dx = ….
a. -x cos x sin x
b. cos x – x sin x
c. x cos x sin x
d. -x sin x – cos x
e. cos x + x sin x

Pembahasan:

u = x → u’ = 1 dx
v’ = cos x dx → v = sin x
∫ uv’ = uv – ∫ u’v
∫ x cos x dx = x sin x – ∫ sin x dx
= x sin x + cos x

Jawabannya : E

9. ∫ cos2 x sin x dx =….
a. cos3 x + C
b. 1/3 cos3 x + C
c. – 1/3 cos3 x + C
d. 1/3 cos3 x sin x + C
e. -cos3 x + C

Pembahasan:

Misalkan u = cos x → du/dx = -sin x → du = -sin x dx

∫ cos2 x sin x dx
= – ∫ u2du
= – 1/3 u3 + C
= – 1/3 cos3 x + C

Jawabannya : C

10. ∫ sin x cos x dx =…..
a. sin3 x + C
b. cos2 x + C
c. 1/2 sin2 x + C
d. 1/2 cos2 x + C
e. sin 2x + C

Pembahasan:

Misalkan u = sin x → du = cos x dx
∫ sin x cos x dx
= ∫ u du
= 1/2 u2 + C
= 1/2 sin2 x + C

Jawabannya : C

Setelah mempelajari materi ini, Kamu dapat mendeskripsikan integral tak tentu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, integral subtitusi, parsial, aplikasi integral tak tentu. Jika kamu belum bisa mendeskripsikan integral tak tentu, berarti kamu belum menguasai dengan baik. Semoga dengan adanya materi ini bisa memudahkanmu dalam belajar matematika.

2 Comments

  1. Bagus dan menarik

Leave a Reply