Materi Limit Fungsi

Materi Limit Fungsi Lengkap dengan Contoh Soal

Bagikan Materi Ini

Suatu pipa peluruhan besi mengalami kebocoran yang mengakibatkan lelehan besi keluar dari tungku pembakaran. Hal tersebut tentu saja dapat merugikan perusahaan. Besarnya kerugian dapat ditentukan dengan cara menghitung banyaknya aliran lelehan besi yang keluar dari tungku pembakaran. Banyaknya lelehan besi yang keluar dapat ditentukan menggunakan konsep limit fungsi. Untuk memperdalam pengetahuan Anda, pelajarilah materi berikut ini.

Konsep limit merupakan dasar untuk mempelajari kalkulus, meskipun kalkulus telah dikenalkan oleh Sir Isaac Newton dan Ottried Wilhelm Leibniz pada pertengahan abad ke-17, sedangkan konsep limit fungsi baru dikenalkan oleh Agustin Louis Cauchy pada abad ke-18. Konsep limit fungsi di suatu titik yang akan kita pelajari adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri.

Baca juga: Materi Logaritma Kelas 10 beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Pengertian dan Teorema Limit

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati c adalah nilai pendekatan dari f(x) pada saat x mendekati nilai c dan dinotasikan :

Pengertian Limit Fungsi

Misalkan n bilangan positif, k konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka berlaku teorema berikut:

Teorema Limit Fungsi

Contoh:

Diketahui f(x) = 2x – 5 dan g(x) = 3x2 + 4x. Tentukan:

Contoh Soal Limit Fungsi

Penyelesaian:

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasan

= 2 • 3 – 5 + 3 • 32 + 4 • 3
= 6 – 5 + 3 • 9 + 12
= 1 + 27 +12
= 40

Contoh Soal Limit Fungsi kelas 11

= limx➡️3 (3x2 + 6x – 5)
= 3 • 32 + 6 • 3 – 5
= 3 • 9 + 18 – 5
= 27 + 18 – 5
= 40

Limit Fungsi Tak Berhingga

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada sembarang interval (a, ∞). Kita tuliskan limx➡️∞ = L, jika untuk x positif yang naik sangat besar, maka nilai f(x) mendekati L. Secara umum dapat diambil kesimpulan nilai:

Limit Fungsi Tak Berhingga

adalah sebagai berikut.

1. Jika derajat pembilang f(x) lebih besar daripada derajat penyebut g(x), maka nilai:

Limit Fungsi Tak Berhingga

2. Jika derajat dari pembilang f(x) sama dengan derajat penyebut g(x), maka nilai:

Limit Fungsi Tak Berhingga

3. Jika derajat dari pembilang f(x) lebih kecil daripada derajat penyebut g(x), maka nilai:

Limit Fungsi Tak Hingga

Contoh:

Contoh Soal Limit Fungsi Tak Hingga

Penyelesaian:

Latihan Soal Limit Fungsi Tak Hingga

Bentuk ∞ – ∞ dapat diselesaikan dengan cara:

a. kalikan dengan akar sekawan, lalu dibagi dengan pangkat tertinggi.

Rumus Limit Fungsi Aljabar di Tak Hingga

Menghitung Limit Fungsi Aljabar

Perhatikan fungsi f(x) = 2x pada tabel berikut!

x01,51,722,52,62,752,852,952,982,9993
f(x) = 2x133,5455,25,55,705,905,965,9986

Dari tabel terlihat jika nilai x diperbesar hingga mendekati 3, maka nilai f(x) mendekati 6, dikatakan bahwa limit dari 2x untuk x mendekati 3 adalah 6 ditulis sebagai berikut.

Bentuk Limit Fungsi Aljabar

Menentukan limit dengan cara di atas ternyata lambat dan tidak efisien. Misalkan untuk menyelesaikan limx➡️a f(x), maka dapat dilakukan dengan cara yang lebih cepat dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

1. Jika f(a) = C, maka nilai :

Rumus Limit Fungsi Aljabar

2. Jika f(a) = C/0, maka nilai :

Rumus Limit Fungsi Aljabar

3. Jika f(a) = 0/C, maka nilai :

Rumus Limit Fungsi Aljabar

4. Jika f(a) = 0/0, maka nilai limx➡️a f(x), sederhanakan atau ubahlah lebih dahulu bentuk f(x) hingga menjadi bentuk (1), (2) atau (3).

Contoh: Hitunglah nilai limit-limit berikut!

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar dan Pembahasannya

Untuk menentukan limit fungsi aljabar limx➡️c f(X), subtitusikan nilai x = c ke f(x).

1. Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limitnya.
2. Jika hasilnya bentuk tak tentu (0/0), maka f(x) harus diuraikan.
Cara menguraikan f(x):
a. faktorisasi
b. dikali sekawan jika ada bentuk akar.
c. dalil L’Hospital, jika:

Dalil L'Hospital Limit Fungsi

Menghitung Limit Fungsi Trigonometri

Terdapat beberapa rumus untuk limit fungsi trigonometri yaitu:

Baca juga: Trigonometri – Perbandingan, Identitas, Sudut Istimewa, dan Contoh Soal

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Contoh Soal Limit Fungsi dan Pembahasannya

Soal Limit Fungsi
Pembahasan

Perlu diingat:

Jika f(a) = 0/C, maka nilai :

Rumus Limit Fungsi Aljabar

Maka menjawab soal diatas seperti ini:

Jawaban Soal Limit Fungsi
Soal Limit Fungsi
Pembahasan

Kita bisa mengerjakan soal di atas dengan Faktorisasi. Jika kamu belum mengetahui cara memfaktorkannya, kamu bisa mempelajari materi aljabar.

Pembahasan Soal Limit Fungsi

karena pembilang dan penyebutnya terdapat yang sama yaitu (x-1), maka kita coret, tersisa (2x+1) pada pembilang dan (3x+2) pada penyebutnya.

Soal Limit Fungsi Aljabar
Soal Limit Fungsi Aljabar
Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas kita gunakan dalil L’Hospital.

Menyelesaikan Soal Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital
Cara Menyelesaikan Soal Limit dengan Dalil L'Hospital
Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas sama seperti nomor 3 yaitu gunakan dalil L’Hospital.

Menjawab Soal Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital
Menjawab Soal Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital

Untuk x = 4

Menjawab Soal Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital

a • 4 + b – √4 = 0 . . . . . (1)

Subtitusikan a = 1 ke persamaan (1).

a • 4 + b – √4 = 0

1 • 4 + b – √4 = 0

4 + b – 2 = 0

b = -2

Jadi, a + b = 1 – 2 = -1

Mengerjakan Soal Limit Akar
Pembahasan

Seperti biasa kita akan menjawab soal di atas denga dalil L’Hospital.

Mengerjakan Soal Limit Akar

Limit fungsi sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Banyak permasalahan sehari-hari yang cara pemecahannya menggunakan limit fungsi. Salah satunya adalah penggunaan pada cerobong asap. Limit merupakan nilai pendekatan dari suatu fungsi. Materi limit fungsi sangat penting sebagai pelajaran bahwa segala permasalahan yang ada disekitar kalian ada beberapa yang menerapkan prinsip dan konsep limit fungsi.

Leave a Reply