Logika Matematika: Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi

Dalam kehidupan sehari-hari, setiap kegiatan pastinya akan dituntut untuk mempunyai pola pikir yang tepat, akurat, rasional, dan kritis agar tidak salah dalam penalaran yang menyebabkan kesalahan dalam pengambilan keputusan. Tahukah kamu dalam matematika terdapat materi yang mempelajari tentang logika? Logika matematika dapat memberikan bimbingan dalam menentukan pola pikir agar lebih efektif dalam mengenal kehidupan dan menghindari kesalahan penalaran berpikir. Untuk lebih memahami terkait materi logika matematika, mari simak dengan saksama pembahasannya berikut ini.

Konsep Logika Matematika

Dalam kehidupan sehari-hari tanpa kita sadari kita menggunakan logika, simak pembahasan berikut.

1. Kalimat berarti

Kalimat berarti adalah kalimat yang mempunyai arti.

Contoh:
a. Tasya siswi kelas XI.
b. Lampung terletak di Pulau Sumatra.

2. Kalimat tak berarti

Kalimat yang tidak berarti adalah kalimat yang tidak mempunyai makna.

Contoh:
a. Bank membutuhkan delapan.
b. Tiga makan lemari.

3. Kalimat deklaratif (pernyataan)

Contoh:
a. p : Bilangan cacah adalah bilangan asli ditambah nol.
b. q : Lagu Indonesia Raya diciptakan oleh Ismail Marzuki.
c. r : Jika 2x = 6, maka x = 3.

Pada contoh tersebut, p dan r adalah dua pernyataan yang bernilai benar sedangkan q adalah pernyataan yang bernilai salah.

4. Kalimat nondekleratif (bukan pernyataan)

Kalimat nondeklaratif adalah kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya.

Contoh:
a. Semoga Tuhan mengampuni dosamu.
b. Berapakah jumlah siswa SMK se-DKI Jakarta?

5. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung variabel (peubah) dan apabila variabel diganti dengan suatu konstanta dalam semestanya, akan menghasilkan suatu pernyataan.

Contoh:
a. x + 2 = 5.
b. x2 – 5x – 40 > 0.

Ada beberapa hal yang harus dipelajari agar penerapan logika mtk dalam kehidupan sehari-hari menjadi tepat guna, di antaranya ingkaran, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi.

1. Ingkaran atau negasi

Ingkaran atau negasi biasanya digunakan untuk membalikkan atau menolak pernyataan. Untuk menyangkal atau membuat negasi dari suatu pernyataan biasanya dengan cara membubuhkan kata “tidak benar” di depan kalimat atau dengan menyisipkan kata “tidak atau bukan” di dalam pernyataan tersebut.

Pernyataan baru yang didapat dengan cara tersebut disebut negasi atau ingkaran dari suatu pernyataan semula. Jika p adalah suatu pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang berikut.

~p dibaca “tidak benar p” atau “bukan p”

Contoh: Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan-pernyataan berikut!

1) p : Jakarta ibukota Indonesia.

  • ~p : Tidak benar Jakarta ibukota Indonesia.
  • ~p : Jakarta bukan ibukota Indonesia.

2) q : 6 < 3

  • ~q : Tidak benar 6 < 3.
  • ~q : 6 ≥ 3.
Jika p suatu pernyataan bernilai benar, maka ~p bernilai salah dan sebaliknya jika p bernilai salah maka ~p bernilai benar
p ~p
B S
S B

2. Konjungsi

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung “dan” untuk membentuk suatu pernyataan majemuk yang disebut konjungsi dari pernyataan p dan q. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinyatakan sebagai berikut.

p ^ q dibaca “p dan q”

Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi dari dua pernyataan p dan q ditentukan sebagai berikut.

p q p ^ q
B B B
B S S
S B S
S S S

Contoh: Tentukan nilai kebenaran setiap konjungsi berikut.

Nomor 1
p : 2 adalah bilangan genap
q : 3 adalah bilangan prima

Penyelesaian :

2 adalah bilangan genap 3 adalah bilangan prima
B B B

Jadi, p ^ q bernilai benar.

Nomor 2
p : 3 + 7 = 10
q : 9 adalah bilangan prima

Penyelesaian :

3 + 7 = 10 9 adalah bilangan genap
B S S

Jadi, p ^ q bernilai salah.

Nomor 3
p : 5 adalah bilangan genap
q : 7 adalah bilangan prima

Penyelesaian :

5 adalah bilangan genap 7 adalah bilangan prima
S B S

Jadi, p ^ q bernilai salah.

Nomor 4
p : 9 x 8 = 17
q : 5 adalah bilangan genap

Penyelesaian :

9 x 8 = 17 5 bilangan genap
S S S

Jadi, p ^ q bernilai salah.

Contoh lain dari konjungsi adalah pada rangkaian seri seperti gambar berikut:

Logika Matematika : Konjungsi
Dapat ditulis p ^ q ^ r

3. Disjungsi

Dua pernyataan p dan q dapat digabung dengan menggunakan kata hubung “atau” untuk membentuk sebuah pernyataan baru. Pernyataan majemuk ini disebut dengan disjungsi.

Disjungsi dari pernyataan p dan q ditulis “p ^ q” dan dibaca “p disjungsi q atau “p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari kata “atau” berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula salah satu tetapi tidak kedua-duanya. Nilai kebenaran pernyataan majemuk disjungsi dari dua pernyataan p dan q ditentukan sebagai berikut.

p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S

Contoh:
p : Andri pergi ke supermarket (B)
q : Andri menonton bioskop (B)
~p : Andri tidak pergi ke supermarket (S)
~q : Andri menonton bioskop (S)
p ∨ q : Andri pergi ke supermarket atau menonton bioskop (B)
~(p ∨ q) : Tidak benar bahwa Andri pergi ke supermarket atau menonton bioskop (S)

4. Implikasi

Dua pernyataan p atau q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “jika p maka q”. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut pernyataan implikasi atau pernyataan bersyarat atau kondisional dari pernyataan p dan q.

Bagian “jika p” dinamakan alasan atau sebab (antesenden atau hipotesis) dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat (konklusi atau konsekuen). Implikasi “jika p maka q” dalam bentuk simbol ditulis sebagai berikut.

p ⟹ q (dibaca “jika p maka q”)

Nilai kebenaran pernyataan implikasi ditentukan oleh nilai kebenaran masing-masing komponennya bukan oleh hubungan dua pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran dari implikasi ditentukan sebagai berikut.

p q p ⟹ q
B B B
B S S
S B B
S S B

Contoh:

Nomor 1
p : Andri rajin belajar (B)
q : Andri naik kelas (B)
~q : Andri tidak naik kelas (S)
p ⟹ q : Jika Andri rajin belajar maka Andri naik kelas (B)
~(p ⟹ q) : Tidak benar bahwa Jika Andri rajin belajar maka Andri naik kelas (S)
p ⟹ ~ q : Andri rajin belajar dan Andri tidak naik kelas (S)

Nomor 2
p : 5 > 3 (B)
q : 5 adalah bilangan genap (S)
~q : 5 bukan bilangan genap (B)
p ⟹ q : Jika 5 > 3, maka 5 adalah bilangan genap (S)
~(p ⟹ q) : Tidak benar bahwa jika 5 > 3, maka 5 adalah bilangan genap (B)
p ⟹ ~q : 5 > 3 dan 5 bukan bilangan genap (B)

Nomor 3
p : 3 x 5 = 8 (S)
q : 8 adalah bilangan ganjil (S)
~q : 8 bukan bilangan ganjil (B)
p ⟹ q : Jika 3 x 5 = 8, maka 8 adalah bilangan ganjil (B)
~(p ⟹ q) : Tidak benar bahwa jika 3 x 5 = 8, maka 8 adalah bilangan ganjil (S)
p ⟹ ~q : 3 x 5 = 8 dan 8 bukan bilangan ganjil (B)

5. Biimplikasi atau ekuivalensi

Dua pernyataan p dan q dapat dibuat menjadi satu pernyataan baru atau kalimat majemuk menjadi bentuk “p jika dan hanya jika q”. Pernyataan baru yang disusun dengan cara seperti ini disebut pernyataan biimplikasi dari pernyataan p dan q.

p ⇔ q (dibaca “p jika dan hanya jika q”)

Nilai kebenaran dari pernyataan biimplikasi ditentukan sebagai berikut.

p q p ⇔ q
B B B
B S S
S B S
S S B

Contoh:

Nomor 1
p : Ayah akan mendapat gaji (B)
q : Ayah bekerja (B)
~p : Ayah tidak akan mendapat gaji (S)
~q : Ayah tidak bekerja (S)
p ⇔ q : Ayah akan mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja (B)
~(p ⇔ q) : Tidak benar bahwa Ayah akan mendapat gaji jika dan hanya jika bekerja (S)
p ⇔ ~q : Ayah akan mendapat gaji dan ayah tidak bekerja (S)
q ⇔ ~p : Ayah bekerja dan ayah tidak akan mendapat gaji (S)
(p ⇔ ~q) ^ (q ⇔ ~p) : Ayah akan mendapat gaji dan ayah tidak bekerja atau ayah bekerja dan ayah tidak akan mendapat gaji (S)

Nomor 2
p : pinguin bisa terbang (S)
q : pinguin adalah sejenis burung (B)
~p : penguin tidak bisa terbang (B)
~q : pinguin bukan sejenis burung (S)
p ⇔ q : pinguin bisa terbang jika dan hanya jika pinguin adalah sejenis burung (S)
~(p ⇔ q) : Tidak benar bahwa pinguin bisa terbang jika dan hanya jika pinguin adalah sejenis burung (B)
p ⇔ ~q : pinguin bisa terbang dan pinguin bukan sejenis burung (S)
q ⇔ ~p : pinguin adalah sejenis burung dan pinguin tidak bisa terbang (B)
(p ⇔ ~q) ^ (q ⇔ ~p) : pinguin bisa terbang dan pinguin bukan sejenis burung atau pinguin adalah sejenis burung dan pinguin tidak bisa terbang (B)

Nomor 3
p : x2 + x = 3x (S)
q : x2 = x + x (S)
~p : x2 + x ≠ 3x (B)
~q : x2 ≠ x + x (B)
p ⇔ q : x2 + x = 3x jika dan hanya jika x2 = x + x (B)
~(p ⇔ q) : Tidak benar bahwa x2 + x = 3x jika dan hanya jika x2 = x + x (S)
p ⇔ ~q : x2 + x = 3x dan x2 ≠ x + x (S)
q ⇔ ~p : x2 = x + x dan x2 + x ≠ 3x (S)
(p ⇔ ~q) ^ (q ⇔ ~p) : x2 + x = 3x dan x2 ≠ x + x atau x2 = x + x dan x2 + x ≠ 3x (S)

Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk

Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p, q, r, … yang kompleks dan dalam bentuk simbol yang menggunakan operasi pernyataan (negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi) dapat ditentukan dengan menggunakan tabel kebenaran.

  1. Ingkaran dari konjungsi adalah ~(p ^ q) = ~p ∨ ~q.
  2. Ingkaran dari disjungsi adalah ~(p ∨ q) = ~p ^ ~q.
  3. Ingkaran dari implikasi adalah ~(p q) = ~p ^ ~q.
  4. Ingkaran dari biimplikasi adalah ~ (p ⇔ q) = (~p ⇔ ~q) atau (p ⇔ ~q).

Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk atau kalimat majemuk adalah suatu pernyataan baru yang tersusun atas dua atau lebih pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika, yaitu dan, atau, tetapi, dan sebagainya. Pernyataan tunggal pembentuk pernyataan majemuk tersebut disebut dengan komponen-komponen atau subpernyataan.

Contoh:

  1. Bandung ibukota provinsi Jawa Barat dan terletak di Pulau Jawa. Komponen pembentuk kalimat majemuk tersebut adalah Bandung ibukota Jawa Barat dan Bandung terletak di Jawa Barat.
  2. 2 + 3 = 5 atau 2 – 1 > 5. Unsur yang membentuk kalimat majemuk yaitu adalah 2 + 3 = 5 dan 2 – 1 > 5.

Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan mengenai objek yang memakai ukuran kuantitas, seperti semua (setiap), beberapa (ada atau sekurang-kurangnya). Kuantor dibedakan menjadi dua, yaitu sebagai berikut.

1. Kuantor universal

Kuantor universal adalah pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap. Kuantor universal dinotasikan dengan “∀” (dibaca semua atau setiap).

Contoh:

  • Semua manusia membutuhkan makan.
  • Setiap warga negara berhak mendapat perlindungan hukum.
  • Semua ember terbuat dari plastik.
  • Setiap siswa dikenakan biaya Rp10.000,00

2. Kuantor eksistensial

Kuantor eksistensial adalah pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada beberapa . Kuantor eksistensial dinotasikan dengan “∃” (dibaca ada beberapa atau beberapa).

Contoh:

  • Beberapa soal tidak dapat terselesaikan.
  • Ada bebrapa hewan berkaki dua.
  • Beberapa tempat umum memiliki fasilitas yang memadai.
  • Ada beberapa siswa yang sakit.

Mendeskripsikan Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Jika suatu pernyataan bersyarat “p q” diketahui, maka dapat dibuat pernyataan lain sebagai berikut.

  • q p disebut pernyataan konvers dari p q.
  • ~p ~q disebut pernyataan invers dari p q.
  • ~q ~p disebut pernyataan kontraposisi dari p q.
Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q, ~q ~p dengan p q.

p q ~p ~q Implikasi
p q
Konvers
q p
Invers
~p ~q
Kontraposisi
~q ~p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B

Dari tabel di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

  • Suatu implikasi yang salah memiliki konvers benar, tetapi suatu implikasi yang benar memiliki konvers yang salah.
  • Suatu implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya (p q) ≡ (~q ⟹ ~p).
  • Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya (q p) ≡ (~p ⟹ ~q).

Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan dari sebuah argumen dimulai dari ditentukannya himpunan pernyataan tunggal yang saling berelasi dan sudah diakui kebenarannya, kemudian dapat diperoleh dari suatu pernyataan majemuk atau pernyataan tunggal.

Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diketahui atau ditentukan yaitu premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari suatu premis-premis yaitu konklusi atau kesimpulan.

Kumpulan satu atau lebih premis yang telah diverifikasi dan satu kesimpulan yang berasal dari premis-premisnya disebut argumen.

Sutu argumen dikatakan valid atau sah jika bisa dibuktikan bahwa argumen tersebut adalah suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen sah (valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran. Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk sebagai berikut.

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Beberapa pola penarikan kesimpulan logika matematika yang sah, yaitu sebagai berikut.

1. Modus Ponens

Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk {(p q)^p} atau dituliskan sebagai berikut.

Premis 1 : p q (benar)
Premis 2 : p (benar)
Konklusi 3 : q (benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens merupakan argumentasi yang sah, yaitu sebagai berikut.

p q p q p q ^ p {(p q) ^ p} q
B B B B B
B S S S B
S B B S B
S S B S B

Contoh modus ponens:

Penarikan kesimpulan modus ponens

2. Modus Tollens

Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk {(p q) ^ ~p} ~q atau dituliskan sebagai berikut.

Premis 1 : p q (benar)
Premis 2 : ~q (benar)
Premis 3 : ~p (benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens merupakan argumentasi yang sah, yaitu sebagai berikut.

p q ~p ~q p q (p q) ^ ~p {(p q) ^ ~p} ~q
B B S S B S B
B S S B S S B
S B B S B S B
S S B B B B B

Contoh modus tollens:

Penarikan kesimpulan modus tollens

3. Silogisme

Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk {(p q) ^ (q ⟹ r)} (p r) atau dituliskan sebagai berikut.

Premis 1 : p q (benar)
Premis 2 : q r (benar)
Premis 3 : p r (benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan argumentasi yang sah, yaitu sebagai berikut.

p q r p q q r p r (p q) ^ (q r) {(p q) ^ (q r)} (p r)
B B B B B B B B
B B S B S S S B
B S B S B B S B
B S S S B S S B
S B B B B B B B
S B S B S B S B
S S B B B B B B
S S S B B B B B

Contoh silogisme:

Penarikan kesimpulan silogisme
Penarikan kesimpulan silogisme

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan akan tertanam sikap dan tindakan yang mendorong kamu untuk menghasilkan sesuatu yang berguna bagi masyarakat, mengakui, dan menghormati keberhasilan orang lain. Dengan demikian kamu dapat menerapkan sikap cermat, kritis, dan pantang menyerah dalam kehidupan sehari-hari.

Leave a Reply