Materi Peluang Matematika

Materi Peluang Matematika Lengkap dengan Contoh Soal

Pernahkah kamu mengamati bagaimana jalannya pertandingan futsal antarsekolah? Setiap sekolah berkesempatan mengirimkan tim terbaiknya untuk mengikuti sebuah turnamen. Suatu pertandingan biasanya dibagi ke dalam beberapa babak. Masing-masing tim akan bertanding melawan tim lainnya. Tentunya setiap tim memiliki kemungkinan untuk menang dan kemungkinan untuk kalah. Adanya kemungkinan tersebut dalam Matematika disebut sebagai peluang. Jika dinyatakan dalam angka, peluang masing-masing tim untuk menang atau kalah 50% : 50%. Jadi apa sebenarnya yang dimaksud dengan peluang?

Berikut ini akan kami bahas secara lengkap mengenai materi peluang matematika.

Pengertian Peluang

Peluang dapat didefinisikan sebagai suatu cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa. Dalam kehidupan sehari-hari, penggunaan peluang dikaitkan dengan kejadian yang belum dapat dipastikan, seperti:

  • Hari ini cuaca mendung, kemungkinan besar hari akan hujan.
  • Kemungkinan tim portugal untuk merebut Piala Eropa sangat besar.

Peluang Suatu Kejadian

  • Percobaan adalah suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa kemungkinan hasil.
  • Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
  • Titik sampel adalah anggota dari ruang sampel.
  • Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
  • Kejadian mustahil adalah kejadian yang tidak mungkin terjadi.
  • Kejadian pasti adalah kejadian yang pasti terjadi.

Ruang sampel dapat ditentukan dengan empat cara, yaitu sebagai berikut.

a) Dengan cara mendaftar

Misalkan
A: menyatakan munculnya sisi angka
G: menyatakan munculnya sisi gambar.

Ada empat kemungkinan yang dapat muncul

  1. mata uang 1 muncul A dan mata uang 2 muncul A
  2. mata uang 1 muncul A dan mata uang 2 muncul G
  3. mata uang 1 muncul G dan mata uang 2 muncul A
  4. mata uang 1 muncul G dan mata uang 2 muncul G

Sehingga ruang sampel, S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.

b) Dengan diagram kartesius

Dengan menggunakan diagram kartesius kita dapat menyajikan sebagai hasil pemasangan dari dua titik yang berurutan.

Menyelesaikan soal peluang dengan diagram kartesius

Sehingga ruang sampel, S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.

c) Dengan tabel

Pada percobaan pelemparan dua mata uang logam. Hasil yang mungkin dapat ditunjukkan dengan tabel berikut.

A G
A [A, A] [A, G]
G [G, A] [G, G]

Sehingga ruang sampel, S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.

d) Dengan diagram pohon

Menyelesaikan soal peluang dengan diagram pohon

Sehingga ruang sampel, S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)}.

Catatan
Banyaknya ruang sampel dari pelemparan n koin = 2n

1. Nilai Peluang

Nilai peluang suatu kejadian adalah sebagai berikut.

Rumus Peluang

Keterangan:

P(A) = peluang munculnya kejadian A
n(A) = banyaknya kejadian A yang dimaksud
n(S) = banyaknya kejadian yang mungkin terjadi

Catatan
  • 0 ≤ P(A) ≤ 1
  • P(A) = 0, artinya peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi (kejadian yang mustahil)
  • P(A) = 1, artinya peluang suatu kejadian yang pasti terjadi.

2. Frekuensi Relatif

Frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Frekuensi Relatif

3. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan.

Rumus Frekuensi Harapan

Keterangan:

n = banyaknya percobaan
P(A) = peluang kejadian A

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Komplemen kejadian A adalah kejadian bukan A atau bukan kejadian A. Untuk setiap kejadian A berlaku:

P(A) + P(Ac) = 1 atau P(Ac) = 1 – P(A)

Peluang Kejadian Majemuk

1. Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)

Dua kejadian dikatakan saling lepas (saling asing) jika dua kejadian itu tidak dapat terjadi secara bersamaan atau keduanya tidak memiliki titik sampel yang sama.

Misalkan diketahui kejadian A dan B yang saling lepas (A ∩ B = Ø). Peluang kejadian A dan B adalah P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

2. Kejadian Tidak Lepas

Dua kejadian dikatakan tidak lepas jika dua kejadian itu saling beririsan.

Misalkan diketahui kejadian A dan B yang tidak lepas (A ∩ B ≠ Ø). Peluang kejadian A dan B adalah P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

3. Kejadian Saling Bebas (Independen)

Dua kejadian dikatakan saling bebas jika kejadian yang satu tidak memengaruhi kejadian yang lainnya.

Misalkan diketahui kejadian A dan B yang saling bebas. Peluang kejadian A dan B adalah P(A ∩ B) = P(A) x P(B) dan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A) x P(B).

4. Kejadian Tidak Bebas (Terbatas)

Dua kejadian dikatakan tidak bebas jika terjadinya salah satu dari kejadian itu ataupun tidak terjadinya akan memengaruhi kejadian lain.

Misalkan diketahui kejadian A dan B yang tidak bebas. Peluang kejadian A dan B adalah P(A ∩ B) = P(A) x P(B | A).

P(B | A) dibaca nilai kemungkinan terjadinya B setelah terjadinya A.

Peluang Kejadian Bersyarat

P(A | B) dibaca nilai kemungkinan terjadinya A setelah terjadinya B.

Peluang Kejadian Tidak Bebas

Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan (counting rules) didefinisikan sebagai suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Kaidah pencacahan tersebut meliputi aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.

1. Aturan Perkalian

a. Aturan pengisian tempat yang tersedia

Jika terdapat n buah tempat tersedia, dengan:

k1 = banyak cara mengisi tempat pertama
k2 = banyak cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi, … dan seterusnya.
k3 = banyak cara mengisi tempat ke-n setelah (n – 1) tempat-tempat sebelumnya terisi.

Sehingga banyaknya cara mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:

k1 x k2 x k3 x …. x kn

b. Notasi faktorial

Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 2) x (n – 1) x n

n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 4 x 3 x 2 x 1

Lambang atau notasi n! dibaca n faktorial untuk n > 2. Definisi pula bahwa 0! = 1 dan 1! = 1

2. Permutasi

Permutasi digunakan untuk mencari banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan dengan memperhatikan urutan sampel.

a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Secara umum, banyak cara menempatkan n buah unsur ke dalam k tempat yang tersedia, hal tersebut disebut dengan permutasi k unsur dari n unsur, yang dinotasikan Pnk .

Pnk = n x (n – 1) x (n – 2) x …. x (n – k + 1)

Dengan k ≤ n, notasi untuk permutasi biasannya.

b. Permutasi yang memuat beberapa unsur sama

Secara umum, jika k = n, maka permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia disebut permutasi n, yang diberikan oleh:

Pnn = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 3 x 2 x 1

Secara umum konsep permutasi mempunyai aturan sebagai berikut.

  • Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama dengan k / n, maka banyak permutasi dari n unsur adalah:
Rumus Permutasi
  • Jika dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, I unsur yang sama, dan m unsur yang sama dengan k+l+m / n, maka banyak permutasi dari n unsur tersebut adalah:
Permutasi

c. Permutasi siklik

Permutasi siklik adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis sebagai berikut.

Permutasi Siklik

atau

Permutasi Siklis

d. Permutasi berulang

Jika tersedia n unsur yang berbeda, maka banyak permutasi berulang k unsur yang diambil dari n unsur (k ≤ n) adalah Pberulang = nk

3. Kombinasi

Kombinasi digunakan untuk mencari banyaknya kemungkinan dari suatu percobaan tanpa memperhatikan urutan sampel.

a. Notasi kombinasi

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda dengan setiap pengambilan dengan r unsur di tulis Cnr , nCr , C(n . r) adalah sebagai berikut.

Rumus Kombinasi

Contoh:

Sebuah keranjang berisi 1 kg buah alpukat, 1 kg buah pir, 1 kg buah jeruk, dan 1 kg buah salak. Berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Penyelesaian:

Diketahui n = 4 dan r = 3 maka

Penyelesaian Soal Kombinasi

Jadi, banyaknya kombinasi yang dapat disusun adalah 4.

b. Sifat-sifat Kombinasi

Sifat-sifat Kombinasi
Sifat-sifat Kombinasi
Sifat-sifat Kombinasi
Sifat-sifat Kombinasi
Sifat-sifat Kombinasi

Baca juga : Integral Tak Tentu – Pengertian, Rumus, Subtitusi, Parsial

Contoh Soal Peluang dan Pembahasannya

1. Peluang muncul dua angka dan satu gambar pada pelemparan tiga keping uang logam bersama-sama adalah …

Pembahasan
Pembahasan Soal Peluang Tiga Keping Uang Logam

Diketahui:

S = kejadian pelemparan tiga keping uang logam yaitu {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

n(S) = 8

Ditanya: kejadian muncul 2 angka dan satu gambar

A = {AAG, AGA, GAA}

n(A) = 3

Jadi, P(A) = n(A)/n(S) = 3/8

2. Dari 900 kali percobaan melempar dua dadu secara bersama-sama, frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 5 adalah …

Pembahasan

n = 900

S = kejadian pelemparan dua dadu secara bersama-sama yaitu:

Dadu 2
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Dadu 1 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

n(S) = 36

Ditanya: frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 5

A ={(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

n(A) = 4

Contoh Soal Peluang Matematika dan Penyelesaiannya

3. Sebuah dadu dilempar 50 kali. Tabel berikut ini menunjukkan hasil pelemparan tersebut:

Angka 1 2 3 4 5 6
Frekuensi 7 9 8 7 9 19

Frekunsi relatif munculnya mata dadu 4 adalah ….

Pembahasan
Latihan Soal Peluang Matematika

4. Dua dadu dan dua uang logam dilempar bersama-sama satu kali. Peluang munculnya dua angka pada uang logam dan jumlah mata dadu 8 adalah … (Ayo berapa jawabannya, Coba tulis jawabannya di kolom komentar ya).

Setelah mempelajari materi ini bagaimana pemahamanmu tentang Peluang? Jika kamu masih belum paham coba tuliskan kesulitan-kesulitan apa saja terkait materi ini di kolom komentar.

One comment

  1. Alhamdulillah sekarang temanmubelajar sudah ada channel youtubenya, mantap min.

Leave a Reply