Materi Statistika dan Contoh Soalnya

Materi Statistika beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Bagikan Materi Ini

Setiap musim liburan datang, banyak orang yang berbondong-bondong mengunjungi tempat wisata baik dalam kota maupun luar kota. Setiap tahunnya, jumlah pengunjung objek wisata mengalami peningkatan yang signifikan dibandingkan dengan tahun-tahun sebelumnya. Nah, dalam matematika pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, pengolahan, dan penarikan kesimpulan dari data yang diperoleh disebut statistika.

Berdasarkan kegiatannya, statistika dibedakan menjadi dua macam, yaitu:

  1. Statistika deskriptif adalah statistika tanpa penarikan kesimpulan.
  2. Statistika inferensi adalah statistika yang disertai penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan.

Baca juga : Materi Peluang Matematika Lengkap dengan Contoh Soal

Dalam materi statistika kita akan membahas penyajian dan penafsiran data, ukuran pemusatan dan penyebaran data, dsb.

Penyajian Data

Suatu data yang disajikan dalam bentuk tabel biasanya agak sulit dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka kamu pasti akan cepat paham. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Data yang diperoleh pada pengamatan dapat dinyatakan dalam tabel distribusi frekuensi tunggal dan kelompok.

Contoh:

Diberikan data nilai matematika dari 20 siswa yang disajikan dengan cara didaftar seperti berikut.

8, 7, 9, 10, 10, 9, 7, 7, 8, 6, 8, 6, 7, 8, 8, 9, 7, 9, 10, 8

Data di atas dapat dikelompokkan dan disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

NilaiFrekuensi
62
75
86
94
103
Jumlah20
Tabel distribusi tunggal

Contoh kedua:

Berat Badan (kg)Frekuensi
41 – 458
46 – 505
51 – 554
56 – 602
61 – 651
Tabel distribusi kelompok

Tebel tersebut merupakan tebel distribusi kelompok. Pada tabel nampak bahwa siswa dengan berat badan antara 41 – 45 ada 8 siswa, dan seterusnya.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

  • Diagram Batang

Perhatikan kembali data pada tabel di atas, data tersebut disajikan dalam bentuk diagram batang seperti berikut.

Diagram Batang pada Materi Statistika
Contoh Soal dan Pembahasan

Diagram berikut menunjukan hasil panen padi

Contoh Soal Statistika Diagram Batang

Jumlah hasil panen padi pada tahun 2011 dan tahun 2013 adalah …..

a. 7
b. 9
c. 10
d. 13
e. 8

Pembahasan:

Sesuai data pada tabel di atas, diperoleh keterangan berikut ini.

Hasil panen padi tahun 2011 = 6 ton

Hasil panen padi tahun 2013 = 7 ton

Jadi, jumlah hasil panen tahun 2011 dan 2013 adalah 6 + 7 = 13 ton.

Jawabannya D

  • Diagram Garis

Diagram garis dapat digunakan untuk menyajikan data yang ada kaitannya dengan perubahan data dalam jangka waktu tertentu.

Contoh:

Data jumlah penduduk (dalam jutaan) di suatu kota X dari tahun 2010 – 2014 disajikan pada tabel dan diagram garis berikut:

Tahun20102011201220132014
Jumlah Penduduk0,50,71,21,41,5
Diagram Garis pada Materi Statistika
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Statistika Diagram Garis

Wirda minum 80 mg obat untuk mengendalikan tekanan darahnya. Grafik di atas memperlihatkan banyaknya obat pada saat itu beserta banyaknya obat dalam darah Wirda setelah satu, dua, tiga, dan empat hari.

Berapa banyak obat yang masih tetap aktif pada akhir hari pertama?

a. 6 mg
b. 12 mg
c. 26 mg
d. 32 mg
e. 38 mg

Pembahasan:

Perhatikan grafik atau diagram di atas.

Setiap kotak persegi mewakili dosis sebesar 10 mg.

Pada akhir hari pertama, kotak hitam pada grafik terletak pada dosis di atas 30 mg (lihat sumbu tegak).

Jawaban yang sesuai hanya 32 mg.

Jadi banyak obat yang masih tetap aktif pada akhir hari pertama adalah 32 mg.

Jawabannya D

  • Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah cara penyajian data dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian dalam ukuran derajat.

Secara matematis, cara membagi lingkaran menjadi jaring-jaring adalah sebagai berikut.

Rumus Diagram Lingkaran

Keterangan:

i = banyaknya data ke-i
n = jumlah data seluruhnya

Contoh:

Berikut adalah mapel favorit 20 siswa kelas 7A

MapelJumlah Siswa
MTK4
IPA6
IPS2
Bahasa Indonesia8

Untuk membuat diagram lingkaran, diperlukan besar sudut yang mewakili setiap data. Berikut ini adalah perhitungan besar sudut tersebut.

MTK : 4/20 x 360° = 72°

IPA : 6/20 x 360° = 108°

IPS : 2/20 x 360° = 36°

Bahasa Indonesia : 8/20 x 360° = 144°

Diagram lingkaran mapel favorit 20 siswa kelas 7A adalah sebagai berikut.

Diagram Lingkaran pada Materi Statistika
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Statistika Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran di atas menyatakan ekskul yang diikuti oleh siswa dalam satu sekolah. Jika banyak siswa yang ikut ekskul renang 48 orang, maka banyak siswa yang ikut ekskul basket adalah ….

a. 18 orang
b. 25 orang
c. 27 orang
d. 30 orang
e. 36 orang

Pembahasan:

Perhatikan diagram lingkaran pada soal.

Besar sudut yang mewakili banyak siswa ikut kegiatan renang = 80°

Besar sudut paskibra yaitu 90°

Besar sudut yang mewakili banyak siswa yang ikut ekskul basket adalah

360° – (60° + 80° + 100° + 90°) = 360° – 330° = 30°

Banyak siswa yang ikut ekskul basket = 30°/ 80° x 48 orang = 18 orang

Jawabannya A

  • Diagram Gambar (Piktogram)

Cara yang paling sederhana dan jelas untuk menyajikan suatu data adalah dengan menggunakan piktogram, yaitu suatu bagan yang menampilkan besarnya data dengan menggunakan gambar-gambar. Salah satu kelemahan menggunakan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah gambar dengan dua per tiga gambar sehingga penggunaan piktogram sangat terbatas.

Contoh:

Data yang digunakan adalah mapel favorit 20 siswa kelas 7A

MapelJumlah Siswa
MTK😊😊
IPA😊😊😊
IPS😊
Bahasa Indonesia😊😊😊😊
Keterangan : 1 gambar = 2 siswa

Ukuran Pemusatan Data

Terdapat tiga nilai statistik yang dapat dipakai untuk menjelaskan tentang sekumpulan data tersebut, statistik adalah daya hasil olahan dan analisis. Statistik dapat berupa yaitu mean (rataan), median (nilai tengah), modus (nilai terbanyak), kuartil, dan simpangan data. Nilai-nilai tersebut adalah parameter yang dapat digunakan untuk menafsirkan suatu gejala pemusatan nilai-nilai dari kumpulan data yang diamati.

1. Mean (Rata-rata)

Pemahaman mendapat bagian yang sama rata diperoleh dengan menjumlahkan semua bagian yang ada dibagi dengan banyaknya objek. Dalam hal ini, bagian yang sama banyak disebut rata-rata (mean).

  • Mean untuk data tunggal

Misalkan x1 , x2 , x3 , …. , xn adalah suatu data. Rata-rata (mean) data tersebut disimbolkan, coba kita lihat rumus mean berikut ini.

Rumus Mean Data Tunggal

Keterangan:

xn =data ke-n
n = banyaknya data

  • Mean untuk data berkelompok
Rumus Mean Data Kelompok

Keterangan:

fi = frekuensi kelas-i
xi = nilai tengah kelas ke-i

  • Menggunakan rataan sementara
Rumus Mean menggunakan Data Sementara

Keterangan:

xs = rataan sementara
di = xs – xi

2. Median

Median (Me) atau kuartil kedua (Q2) adalah ukuran tengah data setelah data diurutkan dari data terkecil sampai data terbesar.

  • Median untuk data tunggal

Jika banyak data ganjil, maka:

Rumus Median Data Ganjil

Jika banyak data genap, maka:

Rumus Median Data Genap

Keterangan: n adalah banyak data

  • Median untuk data kelompok
Rumus Median Data Kelompok

Keterangan:

n = banyaknya data
L = nilai tepi bawah yang memuat kelas median
c = interval kelas (panjang kelas)
fk = frekuensi kumulatif sebelum frekuensi kelas median
f = frekuensi kelas median

3. Modus

Misalkan x1 , x2 , x3 , …. , xn adalah suatu data, data yang paling sering muncul disebut modus, disimbolkan dengan Mo, pada data tunggal, modus dapat langsung ditentukan. Sementara modus untuk data kelompok dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.

Rumus Modus Data Berkelompok

Keterangan:

Mo = modus
L = nilai bawah kelas modus
c = interval kelas (panjang kelas)
d1 = frekuensi kelas modus – frekuensi sebelum kelas modus
d2 = frekuensi kelas modus – frekuensi sesudah kelas modus

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran data yang menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dan menyimpang dari rata-rata. Jika kita berbicara tentang ukuran penyebaran data, maka kita akan mempelajari tentang kuartil, desil, dan persentil.

1. Kuartil

Jika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil hingga data terbesar, maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Kuartil adalah ukuran letak yang membagi empat bagian dari sekumpulan data.

Kuartil pada Materi Statistika
  • Kuartil pertama (kuartil bawah) = Q1
Rumus Kuartil Pertama atau Q1
  • Kuartil kedua (kuartil tengah atau median) = Q2
Rumus Kuartil Kedua atau Q2

Untuk kuartil kedua rumusnya sama seperti rumus median data berkelompok.

  • Kuartil ketiga (kuartil atas) = Q3
Rumus Kuartil Ketiga atau Q3

Keterangan:

n = banyaknya data
Qi = kuartil ke-i data, untuk i = 1, 2, 3
L = tepi bawah kelas ke-i (batas bawah -0,5)
c = interval kelas (panjang kelas)
FQ = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-i
FQi = frekuensi yang memuat kelas kuartil ke-i

2. Desil

Desil merupakan pembagian data yang berurutkan menjadi 10 bagian yang sama besar. Ada 9 desil, yaitu D1 , D2 , D3 , …. , D9 .

  • Desil untuk data tunggal
Rumus Desil Data Tunggal
  • Desil untuk data kelompok
Rumus Desil Data Kelompok

Keterangan:

i = 1, 2, 3, …. , 9
Di = desil ke-i
Li = tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i
FD = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
fi = frekuensi kelas yang memuat desil ke-i
n = banyak data
c = panjang kelas

3. Persentil

Persentil merupakan pembagian data yang berurutan menjadi 100 bagian yang sama banyak. Ada 99 persentil yaitu P1 , P2 , P3 , ….. , P99 .

Untuk menentukan persentil, dirumuskan sebagai berikut.

Rumus Persentil

Keterangan:

Pi = persentil ke-i
Li = tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-i
Fp = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
fpi = frekuensi kelas yang memuat persentil ke-i
n = banyak data
c = panjang kelas

4. Jangkauan

Jangkauan suatu data adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yang dirumuskan sebagai berikut.

Jangkauan = Nilai terbesar – Nilai terkecil

  • Jangkauan AntarKuartil

Jangkauan AntarKuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan dengan R maka:

R = Q3 – Q1

  • Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi InterKuartil)

Simpangan kuartil adalah setengah dari jangkauan antarkuartil. Jangkauan semi interkuartil dinotasikan dengan Qd maka:

Rumus Simpangan Kuartil
  • Langkah

Langkah adalah nilai satu setengah kali dari jangkauan antarkuartil.

Rumus Langkah pada Kuartil
  • Pagar Dalam

Pagar dalam merupakan ukuran dalam data yang letaknya satu langkah di bawah Q3 .

Pagar dalam = Q1 – L

  • Pagar Luar

Pagar luar merupakan ukuran dalam data yang letaknya satu langkah di atas Q3 .

Pagar luar = Q3 – L

5. Simpangan Rata-Rata

  • Simpangan Rata-rata untuk Data Tunggal
Rumus Simpangan Rata-Rata Data Tunggal

Keterangan:

SR = simpangan rata-rata
xi = nilai data ke-i
x atau mean = nilai rata-rata
n = banyak data

  • Simpangan untuk data kelompok
Rumus Simpangan Rata-Rata Data Kelompok

Keterangan:

xi = nilai tengah kelas ke-i
x atau mean = nilai rata-rata
fi = frekuensi kelas ke-i

6. Ragam dan Simpangan Baku

Ragam atau variansi biasa digunakan untuk mengetahui keseragaman dari data-data yang ada, rumus ragam yaitu sebagai berikut:

  • Ragam/Variansi untuk Data Tunggal
Rumus Ragam Data Tunggal
  • Ragam/Variansi untuk Data Kelompok
Rumus Ragam Data Kelompok

Simpangan baku bisa dihitung dengan menggunakan kuadrat pada rentang datanya atau akar dari ragam, rumus simpangan baku (standar deviasi) yaitu sebagai berikut:

  • Simpangan Baku untuk Data Tunggal
Rumus Simpangan Baku Data Tunggal
  • Simpangan Baku untuk Data Kelompok
Rumus Ragam untuk Data Kelompok

Keterangan:

n = ukuran data
xi = titik tengah interval ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i
x mean = rata-rata

7. Angka Baku (Z-Score)

Angka baku atau nilai standar yang menyatakan perbandingan antara suatu nilai data dengan nilai rata-ratanya dibagi dengan simpangan bakunya.

Rumus Angka Baku atau Z-Score

Keterangan:

Z = angka baku (Z-Score)
x = nilai data
x mean = rata-rata hitung
S = simpangan baku (standar deviasi)

8. Koefisien Vaiansi (KV)

Koefisien variansi adalah perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata (mean) yang dinyatakan dalam persen.

Rumus Koefisien Variansi

Keterangan:

KV = koefisien variansi
x mean = rataan nilai
S = simpangan baku

9. Ukuran Kemiringan Kurva (SK)

Rumus Ukuran Kemiringan Kurva (SK)

Keterangan:

SK = kemiringan (skewness)
x mean = rataan nilai
Mo = modus
S = standar deviasi (simpangan baku)

Catatan:

Jika SK > 0, maka model postif
Jika SK < 0, maka model negatif
Jika Sk = 0, maka model simetri

10. Ukuran Kemiringan atau Kurtosis (KK)

Rumus Ukuran Keruncingan (Kurtosis)

Keterangan:

KK = koefisien kurtosis
Qd = simpangan kuartil atau jangkauan semi interkuartil
P90 = persentil ke-90
P10 =persentil ke-10

Catatan:

Jika KK > 3, maka distribusinya adalah leptokurtis
Jika SK < 3, maka distribusinya adalah platikurtis
Jika Sk = 3, maka distribusinya adalah mesokurtis

Contoh Soal Statistika dan Pembahasannya

1. Perhatikan tabel berikut.

Nilai ujian Matematika456810
Frekuensi204070a10

Nilai rata-rata ujian Matematika dalam tabel tersebut adalah 6. Nilai a sama dengan …..

Pembahasan
Rumus Mean Data Kelompok
Contoh Soal Mean
Pembahasan Soal Mean

6(140 + a) = 800 + 8a

840 + 6a = 800 + 8a

840 – 800 = 8a – 6a

40 = 2a

20 = a

2. Data hasil pengamatan adalah sebagai berikut:

7, 13, 16, 10, 11, 13, 10, 8, 16. Pengamatan tersebut mempunyai:

(1) jangkauan = 9
(2) kuartil bawah = 14,5
(3) median = 11
(4) kuartil atas = 9

Dari pernyataan di atas, mana yang benar?

Pembahasan

Data setelah diurutkan:

Contoh Soal Statistika dan Pembahasannya
  • Jangkauan: 16 – 7 = 9
  • Kuartil bawah = (8+10) / 2 = 9
  • Kuartil tengah / median = 11
  • Kuartil atas = (13+16) / 2 = 14,5

Jadi, pernyataan yang sesuai yaitu (1) dan (3)

3. Sepuluh wanita mempunyai rata-rata tinggi badan 155 cm, sedangkan 20 pria mempunyai rata-rata tinggi 165 cm. Rata-rata tinggi badan ketiga puluh orang tersebut adalah …. cm.

Pembahasan
PriaWanita
Rata-rata : x1 = 165
Jumlah : f1 = 20
Rata-rata : x2 = 155
Jumlah : f2 = 10
Contoh Soal Statistika dan Pembahasannya
Contoh Soal Statistika dan Jawabannya

4. Ragam (variansi) dari data: 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 8, 7 adalah ….

Pembahasan
DataFrekuensi
51
64
76
84
91
Rumus Mean Data Kelompok
Cara Menghitung Mean Data Kelompok
Data (xi)Data (fi)(xi – ¯x)2 fi(xi¯x)2
51(5 – 7)2 = 41(5 – 7)2 = 4
64(6 – 7)2 = 14(6 – 7)2 = 4
76(7 – 7)2 = 06(7 – 7)2 = 0
84(8 – 7)2 = 14(8 – 7)2 = 4
91(9 – 7)2 = 41(9 – 7)2 = 4
Jumlah1616
Rumus Ragam Data Kelompok

16/16 = 1

5. Perhatikan tabel berikut.

Berat (kg)Frekuensi
31 – 364
37 – 426
43 – 489
49 – 5414
55 – 6010
61 – 665
67 – 722

Modus pada tabel di atas adalah ….

Pembahasan

Kelas modus (frekuensi terbesar) = 49 – 54

L (tepi bawah kelas) = 49 – 0,5 = 48,5

c (panjang kelas) = 6

f0 = 14

f0 – 1 = 9

f0 + 1 = 10

d1 = f0 – f0 – 1 = 14 – 9 = 5

d2 = f0 – f0 + 1 = 14 – 10 = 4

Rumus Modus Data Kelompok
Pembahasan Soal Modus Data Kelompok

= 48,5 + 3,33 = 51,83

Statistika sangat bermanfaat dalam kehidupan. Statistika dapat diterapkan dalam bidang keuangan, yaitu untuk menentukan tingkat pengembalian investasi (saham, reksadana, valuta asing), menganalisis pertumbuhan laba, mengetahui perkembangan ekonomi.

Jika kamu masih belum mengerti pada pembahasan mengenai materi statistika, boleh ditanyakan pada kolom komentar.

Leave a Reply