Matriks: Pengertian, Jenis, Transpose, dan Operasi pada Matriks

Pernahkah kamu mengamati denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada baris dan kolom berapa kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan menggunakan matriks, kita dapat meringkas penyajian denah tersebut sehingga dengan mudah diketahui letak tempat duduk dan teman-teman kalian.

Pengertian Matriks

Matriks adalah kumpulan angka atau elemen yang disusun oleh kolom dan baris. Angka-angka yang tersusun tersebut disebut komponen-komponen atau elemen -elemen matriks. Nama sebuah matriks ditulis dengan huruf kapital. Jumlah baris x banyak kolom suatu matriks disebut ukuran matriks atau ordo matriks.

Matriks dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya, sedangkan elemen (entri) dari matriks tersebut adalah huruf yang ditulis dengan huruf kecil atau angka.

Bentuk Umum Matriks

Bentuk Umum Matriks

Ordo Matriks

Ordo suatu matriks adalah banyaknya elemen baris (m) dan banyaknya kolom (n). Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.

Contoh Matriks Ordo 3x3
Garis biru merupakan baris, Garis merah merupakan kolom

Matriks A berordo 3 x 3 artinya banyaknya baris 3 dan banyaknya kolom 3.

Jenis-jenis Matriks

1. Matriks Baris

Adalah matriks yang terdiri dari satu baris, biasanya ordo matriks seperti ini 1 x n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.

Contoh:
A1 x 2 = (3 4)
B1 x 3 = (3 4 5)
C1 x 4 = (2 0 -1 20)

2. Matriks Kolom

Adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja, matriks kolom berordo m x 1 dengan m banyak baris pada kolom tersebut.

Contoh:

Contoh Matriks Kolom

3. Matriks Persegi

Adalah matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom. Ini memiliki ordo n x n

Contoh:

Contoh Matriks Persegi
Contoh Matriks Persegi

4. Matriks Persegi Panjang

Adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Ini memiliki ordo m x n.

Contoh:

Contoh Matriks Persegi Panjang

5. Matriks Segitiga

Adalah suatu matriks persegi berordo n x n dengan elemen-elemen matriks di atas atau di bawah diagional utama semuanya 0.

Contoh:

Contoh Matriks Segitiga

6. Matriks Diagonal

Adalah matriks persegi dengan pola “semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol”

Contoh:

Contoh Matriks Diagonal
Contoh Matriks Diagonal

7. Matriks Identitas

Adalah suatu matriks persegi yang unsur diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semuanya 0.

Contoh:

Contoh Matriks Identitas

8. Matriks Nol

Dinotasikan 0, merupakan matriks yang semua elemennya nol.

Contoh :
A1 x 3 = (0 0 0)

Transpose Matriks

Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan susunan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos matriks A dinotasikan dengan AT atau At.

Transpose Matriks

Jika A = AT, maka matriks A disebut matriks simetri.

Contoh:

Contoh Matriks Simetri

A = AT, maka A adalah matriks simetri.

(AT)T = A

Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama, jika memiliki ordo dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) sama.

Contoh:

Tentukan x, y, dan z jika A = B dari matriks berikut:

Kesamaan Dua Matriks
Jawabannya:
Cara Mengerjakan Kesamaan Dua Matriks

Pertama kerjakan yang x nya dahulu

x + 1 = 2x – 2
x – 2x = -2 – 1
-x = -3
x = -3/-1
x = 3

Setelah itu z

6 = 4z + 2
6 – 2 = 4z
4 = 4z
4/4 = z
1 = z

Terakhir baru kerjakan yang y

x + 2y = 5y
3 + 2y = 5y
3 = 5y – 2y
3 = 3y
3/3 = y
1 = y

Nilai x = 3, z = 1, dan y = 1. Gimana mudah bukan?

Persamaan Matriks Berbentuk AX = B dan XA = B

Bila diketahui matriks A dan B, maka untuk menyelesaikan kesamaan matriks yang berbentuk AX = B dan XA = B adalah sebagai berikut:

AX = B
A-1(AX) = A-1. B
(A-1 . A) . X = A-1. B
IX = A-1. B
X = A-1. B

XA = B
(XA)A-1 = B.A-1
(A-1 .A). X = B . A-1
XI = BA-1
X = BA-1

Contoh:

Contoh Kesamaan Matriks
Jawabannya:
Jawaban Kesamaan Matriks
Jawaban Kesamaan Matriks
Jawaban Kesamaan Matriks
Jawaban Kesamaan Matriks
Jawaban Kesamaan Matriks

Operasi Pada Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya berordo sama. Hasil penjumlahan dua matriks yang berordo sama adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

Jika A = (aij)m x n dan B = (bij)m x n , maka

A + B = (aij)m x n + (bij)m x n = (aij + bij)m x n

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan Matriks

Contoh: Tentukan A + B

Penjumlahan Matriks
Jawabannya:
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan Matriks

Secara umum, untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat berikut:

No. Sifat
1 Komutatif, A+B = B+A
2 Asosiatif, (A+B)+C = A+(B+C)
3 Penjumlahan dengan matriks nol, menghasilkan matriks itu sendiri

2. Pengurangan Matriks

Matriks A dan B dapat dikurangkan jika keduanya berordo sama. Hasil pengurangan dua matriks yang berordo sama adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

A – B = (aij)m x n – (bij)m x n = (aij – bij)m x n

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Pengurangan Matriks
Pengurangan Matriks

Contoh:

Soal Pengurangan Matriks
Jawabannya:
Pengurangan Matriks
Pengurangan Matriks
Pengurangan Matriks

3. Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika skalar dikalikan dengan matriks akan dapat diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Jika A = (aij)m x n, maka:

k • A = k • (aij)m x n = (kaij)m x n

Contoh:

Perkalian Skalar Matriks
Perkalian Skalar Matriks
Perkalian Skalar Matriks

4. Perkalian Dua Matriks

Matriks A bisa dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.

Misal Am x n dan Bn x k

A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada matriks B yang bersesuian.

Contoh: matriks perkalian dari A x B berikut ini:

Perkalian Dua Matriks
Jawabannya:
Perkalian Dua Matriks
Cara Mengalikan Matriks
cara perkalian matriks
Hasil Perkalian Dua Matriks

Secara umum, untuk setiap matriks A, B, dan C berlaku sifat-sifat berikut:

No. Sifat
1 Asosiatif, A(BC) = (AB)C
2 Distributif terhadap penjumlahan, A(B+C) = AB + AC = BA + CA
3 Perkalian suatu matriks dengan matriks identitas (I) menghasilkan matriks itu sendiri, AI = IA = A

Determinan

Determinan matriks A di artikan sebagai selisih antara perkalian komponen-komponen pada diagonal utama dan perkalian komponen-komponen pada diagonal sekunder.

Misal diketahui:

Matriks Ordo 2x2

maka:

Determinan Matriks

Contoh: matriks determinan

Determinan Matriks

Maka |A| = 24 – 35 = -11

Jika matriks berordo 3×3

Misal diketahui:

Matriks Ordo 3x3

maka determinannya dengan metode Sarrus:

Determinan Matriks dengan Metode Sarrus

= a • e • i + b • f • g + c • d • h – b • d • i – a • f • h – c • e • g

Minor, kofaktor, dan adjoin

Minor dari matriks A dinyatakan oleh minor aij atau |Mij|, yang didefinisikan sebagai determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A dihilangkan. Jika minor aij atau |Mij| menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ij dari matriks A, dinyatakan dengan Cij, yang didefinisikan sebagai berikut.

Cij = (-1)i+j |Mij|

Adjoin (A) atau adj (A) adalah transpose dari matriks kofaktor.

Invers Matriks

Invers matriks bujursangkar A dengan |A| ≠ 0

Ditulis :

Invers Matriks

Rumus matriks invers:

Invers Matriks

Contoh:

Contoh Soal Invers Matriks
Contoh Invers Matriks

Sifat-sifat pada Invers Matriks

  • (P-1)-1 = P
  • (PQ)-1 = P-1 • Q-1

Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Matriks

Baca juga : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

a. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Invers

Dengan prinsip perkalian antara dua matriks, maka sistem persamaan linear dapat diubah menjadi persamaan dalam bentuk matriks.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks
Rumus Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks

Contoh:

Dengan menggunakan invers matriks, maka tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut!

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks
Jawabannya:
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Invers Matriks

Jadi, himpunan penyelesaiannya {3,2}

b. Dengan Determinan

Selain dengan menggunakan invers matriks sistem persamaan linear dapat dikerjakan dengan menggunakan determinan.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan Matriks

Biasanya:

Rumus Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan Matriks

Rumus:

Rumus Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan Matriks

Contoh:

Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Determinan Matriks

x = 15/5 = 3, y = 10/5 = 2

Jadi, Hp = {3,2}

Setelah mempelajari ini, Kamu dapat mendeskripsikan matriks, determinan dan invers matriks, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers dan determinan. Jika kamu belum dapat mendeskripsikan materi diatas, rumuskanlah materi yang belum kamu pahami, lalu cobalah kamu tuliskan kata-kata kunci, tuliskan pula rangkuman serta peta konsep berdasarkan versi kamu dan yang paling penting banyaklah berlatih. Jika perlu diskusikan dengan teman-temanmu.

Leave a Reply