Pernahkah kamu mengamati denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada baris dan kolom berapa kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan menggunakan matriks, kita dapat meringkas penyajian denah tersebut sehingga dengan mudah diketahui letak tempat duduk dan teman-teman kalian.
Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan angka atau elemen yang disusun oleh kolom dan baris. Angka-angka yang tersusun tersebut disebut komponen-komponen atau elemen -elemen matriks. Nama sebuah matriks ditulis dengan huruf kapital. Jumlah baris x banyak kolom suatu matriks disebut ukuran matriks atau ordo matriks.
Matriks dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya, sedangkan elemen (entri) dari matriks tersebut adalah huruf yang ditulis dengan huruf kecil atau angka.
Bentuk Umum Matriks
Ordo Matriks
Ordo suatu matriks adalah banyaknya elemen baris (m) dan banyaknya kolom (n). Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.
Matriks A berordo 3 x 3 artinya banyaknya baris 3 dan banyaknya kolom 3.
Jenis-jenis Matriks
1. Matriks Baris
Adalah matriks yang terdiri dari satu baris, biasanya ordo matriks seperti ini 1 x n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.
Contoh:
A1 x 2 = (3 4)
B1 x 3 = (3 4 5)
C1 x 4 = (2 0 -1 20)
2. Matriks Kolom
Adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja, matriks kolom berordo m x 1 dengan m banyak baris pada kolom tersebut.
Contoh:
3. Matriks Persegi
Adalah matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom. Ini memiliki ordo n x n
Contoh:
4. Matriks Persegi Panjang
Adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Ini memiliki ordo m x n.
Contoh:
5. Matriks Segitiga
Adalah suatu matriks persegi berordo n x n dengan elemen-elemen matriks di atas atau di bawah diagional utama semuanya 0.
Contoh:
6. Matriks Diagonal
Adalah matriks persegi dengan pola “semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol”
Contoh:
7. Matriks Identitas
Adalah suatu matriks persegi yang unsur diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semuanya 0.
Contoh:
8. Matriks Nol
Dinotasikan 0, merupakan matriks yang semua elemennya nol.
Contoh :
A1 x 3 = (0 0 0)
Transpose Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan susunan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos matriks A dinotasikan dengan AT atau At.
Jika A = AT, maka matriks A disebut matriks simetri.
Contoh:
A = AT, maka A adalah matriks simetri.
(AT)T = A
Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama, jika memiliki ordo dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) sama.
Contoh:
Tentukan x, y, dan z jika A = B dari matriks berikut:
Pertama kerjakan yang x nya dahulu
x + 1 = 2x – 2
x – 2x = -2 – 1
-x = -3
x = -3/-1
x = 3
Setelah itu z
6 = 4z + 2
6 – 2 = 4z
4 = 4z
4/4 = z
1 = z
Terakhir baru kerjakan yang y
x + 2y = 5y
3 + 2y = 5y
3 = 5y – 2y
3 = 3y
3/3 = y
1 = y
Nilai x = 3, z = 1, dan y = 1. Gimana mudah bukan?
Persamaan Matriks Berbentuk AX = B dan XA = B
Bila diketahui matriks A dan B, maka untuk menyelesaikan kesamaan matriks yang berbentuk AX = B dan XA = B adalah sebagai berikut:
AX = B
A-1(AX) = A-1. B
(A-1 . A) . X = A-1. B
IX = A-1. B
X = A-1. B
XA = B
(XA)A-1 = B.A-1
(A-1 .A). X = B . A-1
XI = BA-1
X = BA-1
Contoh:
Operasi Pada Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya berordo sama. Hasil penjumlahan dua matriks yang berordo sama adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.
Jika A = (aij)m x n dan B = (bij)m x n , maka
A + B = (aij)m x n + (bij)m x n = (aij + bij)m x n
Contoh: Tentukan A + B
Secara umum, untuk setiap matriks A, B, dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat berikut:
| No. | Sifat |
|---|---|
| 1 | Komutatif, A+B = B+A |
| 2 | Asosiatif, (A+B)+C = A+(B+C) |
| 3 | Penjumlahan dengan matriks nol, menghasilkan matriks itu sendiri |
2. Pengurangan Matriks
Matriks A dan B dapat dikurangkan jika keduanya berordo sama. Hasil pengurangan dua matriks yang berordo sama adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
A – B = (aij)m x n – (bij)m x n = (aij – bij)m x n
Contoh:
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika skalar dikalikan dengan matriks akan dapat diperoleh sebuah matriks yang elemen-elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
Jika A = (aij)m x n, maka:
k • A = k • (aij)m x n = (kaij)m x n
Contoh:
4. Perkalian Dua Matriks
Matriks A bisa dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.
Misal Am x n dan Bn x k
A x B = Cm x k dengan elemen-elemen C merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada matriks B yang bersesuian.
Contoh: matriks perkalian dari A x B berikut ini:
Secara umum, untuk setiap matriks A, B, dan C berlaku sifat-sifat berikut:
| No. | Sifat |
|---|---|
| 1 | Asosiatif, A(BC) = (AB)C |
| 2 | Distributif terhadap penjumlahan, A(B+C) = AB + AC = BA + CA |
| 3 | Perkalian suatu matriks dengan matriks identitas (I) menghasilkan matriks itu sendiri, AI = IA = A |
Determinan
Determinan matriks A di artikan sebagai selisih antara perkalian komponen-komponen pada diagonal utama dan perkalian komponen-komponen pada diagonal sekunder.
Misal diketahui:
maka:
Contoh: matriks determinan
Maka |A| = 24 – 35 = -11
Jika matriks berordo 3×3
Misal diketahui:
maka determinannya dengan metode Sarrus:
= a • e • i + b • f • g + c • d • h – b • d • i – a • f • h – c • e • g
Minor, kofaktor, dan adjoin
Minor dari matriks A dinyatakan oleh minor aij atau |Mij|, yang didefinisikan sebagai determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A dihilangkan. Jika minor aij atau |Mij| menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ij dari matriks A, dinyatakan dengan Cij, yang didefinisikan sebagai berikut.
Cij = (-1)i+j |Mij|
Adjoin (A) atau adj (A) adalah transpose dari matriks kofaktor.
Invers Matriks
Invers matriks bujursangkar A dengan |A| ≠ 0
Ditulis :
Rumus matriks invers:
Contoh:
Sifat-sifat pada Invers Matriks
- (P-1)-1 = P
- (PQ)-1 = P-1 • Q-1
Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Matriks
Baca juga : Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
a. Penyelesaian Sistem Persamaan dengan Invers
Dengan prinsip perkalian antara dua matriks, maka sistem persamaan linear dapat diubah menjadi persamaan dalam bentuk matriks.
Contoh:
Dengan menggunakan invers matriks, maka tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut!
Jadi, himpunan penyelesaiannya {3,2}
b. Dengan Determinan
Selain dengan menggunakan invers matriks sistem persamaan linear dapat dikerjakan dengan menggunakan determinan.
Biasanya:
Rumus:
Contoh:
x = 15/5 = 3, y = 10/5 = 2
Jadi, Hp = {3,2}
Setelah mempelajari ini, Kamu dapat mendeskripsikan matriks, determinan dan invers matriks, penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers dan determinan. Jika kamu belum dapat mendeskripsikan materi diatas, rumuskanlah materi yang belum kamu pahami, lalu cobalah kamu tuliskan kata-kata kunci, tuliskan pula rangkuman serta peta konsep berdasarkan versi kamu dan yang paling penting banyaklah berlatih. Jika perlu diskusikan dengan teman-temanmu.
