Trigonometri: Perbandingan, Identitas, Sudut Istimewa, dan Contoh Soal

Gunung semeru merupakan gunung tertinggi di Pulau Jawa. Ketinggian gunung Semeru mencapai 3676 meter dari permukaan laut (mdpl). Pernahkah Anda berpikir, bagaimana cara mengukur ketinggian gunung tersebut? Ketinggian gunung dapat diukur menggunakan konsep trigonometri, yaitu menggunakan perbandingan sudut (sinus, kosinus, atau tangen).

Baca juga : Integral Tak Tentu – Pengertian, Rumus, Subtitusi, Parsial

Bagaimana caranya? Anda dapat mengukur besar sudut yang dibentuk oleh garis pengamat saat Anda mengamati puncak Semeru melalui garis horizontal. Untuk lebih memahami tentang konsep trigonometri, Anda dapat mempelajarinya dalam materi berikut.

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri bergantung pada besar sudut, bukan bergantung pada panjang sisi. Sehingga perbandingan trigonometri merupakan fungsi dari α (besar sudut).

1. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku

Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-Siku

Keterangan:
x = sisi siku-siku samping sudut (proyeksi)
y = sisi siku-siku depan sudut (proyektor)
r = sisi miring (proyektum)

a. sinus β = sin β = y/r

b. cosinus β = cos β = x/r

c. tangen β = tan β = y/x

d. cosecan β = csc β = r/y

e. secan β = sec β = r/x

f. cotangen β = cot β = x/y

Dari perbandingan tersebut diperoleh hubungan sebagai berikut.

Trigonometri kelas 10
Perbandingan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri
Perbandingan Trigonometri
Trigonometri Kelas 11
Perbandingan Trigonometri
Materi Trigonometri Kelas 10
Perbandingan Trigonometri

Perhatikanlah gambar berikut!

Materi Trigonometri Kelas 11

Dari lingkaran yang berpusat do O(0,0) dan berjari-jari satuan, misalnya:

AOB = A
BOC = B
Maka AOC = A + B

Dengan mengingat kembali koordinat kartesius, maka:

  • koordinat titik A (1,0)
  • koordinat B (cos A, sin A)
  • koordinat titik C {cos (A+B), sin (A+B)}
  • koordinat titik D {cos (-B), sin (-B)} atau (cos B, -sin B)

2. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah suatu kalimat terbuka atau relasi yang berisi fungsi-fungsi trigonometri dan yang berlaku benar untuk setiap penggantian variabel dengan anggota konstan dari domain fungsinya. Identitas trigonometri dapat diungkapkan sebagai berikut.

sin2 α + cos2 α = 1

Identitas Trigonometri
Identitas Trigonometri

Contoh:
Diketahui cosec β = 2 dan sudut β berada di kuadran kedua. Berapakah nilai cot β?

Penyelesaian:

Berdasarkan sifat identitas trigonometri 1 + cot β = cosec β.

1 + cot2 β = cosec2 β

1 + cot2 β = 22

cot2 β = 22 – 1

cot2 β = 4 – 1

cot2 β = 3

cot β = ±√3

Untuk sudut di kuadran II, nilai cotangen negatif. Jadi, cot β = -√3

3. Sudut-sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan kalkulator. Sudut-sudut istimewa antara lain 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan seterusnya. Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa, yaitu sebagai berikut.

Perbandingan Trigonometri 30° 45° 60° 90°
sin 0 1/2 1/2√2 1/2√3 1
cos 1 1/3√3 1/2√2 1/2 0
tan 0 1/3√3 1 √3
cot √3 1 1/3√3 0
sec 1 2/3√3 √2 2
csc 2 √2 2/3√3 1

4. Perbandingan Sudut Berelasi

Sudut berelasi adalah perbandingan trigonometri sudut yang lebih dari 90° memiliki hubungan dengan nilai perbandingan trigonometri sudut pada kuadran I (sudut yang kurang dari 90°) dengan aturan tertentu.

a. Perbandingan trigonometri sudut (90° – α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (90° – α°) = cos α°
cos (90° – α°) = sin α°
tan (90° – α°) = cot α°
csc (90° – α°) = sec α°
sec (90° – α°) = csc α°
cot (90° – α°) = tan α°

b. Perbandingan trigonometri sudut (90° + α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (90° + α°) = cos α°
cos (90° + α°) = -sin α°
tan (90° + α°) = -cot α°
csc (90° + α°) = sec α°
sec (90° + α°) = -csc α°
cot (90° + α°) = -tan α°

c. Perbandingan trigonomteri sudut (180° – α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (180° – α°) = sin α°
cos (180° – α°) = -cos α°
tan (180° – α°) = -tan α°
csc (180° – α°) = csc α°
sec (180° – α°) = -sec α°
cot (180° – α°) = -cot α°

d. Perbandingan trigonometri sudut (180° + α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (180° + α°) = -sin α°
cos (180° + α°) = -cos α°
tan (180° + α°) = tan α°
csc (180° + α°) = -csc α°
sec (180° + α°) = -sec α°
cot (180° + α°) = cot α°

e. Perbandingan trigonometri sudut (270° – α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (270° – α°) = -cos α°
cos (270° – α°) = -sin α°
tan (270° – α°) = cot α°
csc (270° – α°) = -sec α°
sec (270° – α°) = -csc α°
cot (270° – α°) = tan α°

f. Perbandingan trigonometri sudut (270° + α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (270° + α°) = -cos α°
cos (270° + α°) = sin α°
tan (270° + α°) = -cot α°
csc (270° + α°) = -sec α°
sec (270° + α°) = csc α°
cot (270° + α°) = -tan α°

g. Perbandingan trigonometri (-α°)

Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

sin (-α°) = -sin α°
cos (-α°) = cos α°
tan (-α°) = -tan α°
csc (-α°) = -csc α°
sec (-α°) = -sec α°
cot (-α°) = -cot α°

h. Perbandingan trigonometri sudut (n . 360° – α°)

sin (n . 360° – α°) = -sin α°
cos (n . 360° – α°) = cos α°
tan (n . 360° – α°) = -tan α°
csc (n . 360° – α°) = -csc α°
sec (n . 360° – α°) = sec α°
cot (n . 360° – α°) = -cot α°

i. Perbandingan trigonometri sudut (n . 360° + α°)

sin (n . 360° + α°) = sin α°
cos (n . 360° + α°) = cos α°
tan (n . 360° + α°) = tan α°
csc (n . 360° + α°) = csc α°
sec (n . 360° + α°) = sec α°
cot (n . 360° + α°) = cot α°

Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus

Jumlah dan selisih sinus dan kosinus dapat ditentukan dengan melakukan perhitungan berikut.

1. Rumus Kosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus kosinus jumlah dua sudut:

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

Rumus kosinus selisih dua sudut:

cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus sinus jumlah dua sudut:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Rumus sinus selisih dua sudut:

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

Contoh : Tentukan nilai dari sin 75°!

Penyelesaian:

sin 75°
= sin (30° + 45°)
= sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°

Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus tangen jumlah dua sudut dapat dinyatakan sebagai berikut.

Rumus Trigonometri
Rumus Trigonometri

4. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Rumus trigonometri sudut rangkap dapat dinyatakan sebagai berikut.

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = 1 – 2 sin2 α = 2cos2 α – 1

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

5. Rumus Trigonometri Sudut Tengahan

Rumus cos 2α = 1 – 2 sin2 α dan cos 2α = 2 cos2 α – 1, dapat digunakan untuk menentukan rumus sudut ganda untuk sin 1/2 α, cos 1/2 α, dan tan 1/2 α. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

Rumus Trigonometri Sudut Tengahan
Rumus Trigonometri Sudut Tengahan
Rumus Trigonometri Sudut Tengahan
Rumus Trigonometri Sudut Tengahan

Setelah mempelajari materi ini, bagaimana pemahaman Anda tentang Trigonometri? Jika Anda sudah memahami materi tersebut, rangkumlah kembali ke dalam buku catatan dengan kalimat Anda sendiri. Namun, jika Anda merasa belum memahami materi tersebut, tuliskan kesulitan-kesulitan apa saja yang Anda jumpai kemudian terus berusaha menyelesaikan soal yang sulit tersebut, agar nantinya Anda dapat dengan mudah menjawab soal-soal mengenai trigonometri.

Leave a Reply